Notions logiques pour le raisonnement

Exemple corrigé

On considère les deux propositions dépendant d’un réel \(x\) : \[P(x) : x\geq -1,
\qquad
Q(x) : x<3.\]

Question 1 : résoudre \(P(x)\) et \(Q(x)\)

On cherche les réels \(x\) qui vérifient simultanément : \[x\geq -1
\qquad \text{et} \qquad
x<3.\]

Cela donne : \[-1\leq x<3.\]

Donc : \[P(x) \text{ et } Q(x)
\quad \Longleftrightarrow \quad
x\in [-1;3[.\]

Question 2 : résoudre \(P(x)\) ou \(Q(x)\)

On cherche les réels \(x\) qui vérifient au moins une des deux conditions : \[x\geq -1
\qquad \text{ou} \qquad
x<3.\]

Tout réel \(x\) vérifie au moins l’une des deux conditions :

• si \(x<3\), alors \(Q(x)\) est vraie ;
• si \(x\geq 3\), alors \(x\geq -1\), donc \(P(x)\) est vraie.

Donc : \[P(x) \text{ ou } Q(x)
\quad \Longleftrightarrow \quad
x\in \mathbb{R}.\]

Interprétation : avec « et », on garde seulement les réels qui satisfont les deux conditions. Avec « ou », on garde tous les réels qui satisfont au moins une condition.

Exercices d’application

Exercice 1

On sait que \(P\) est vraie, \(Q\) est fausse et \(R\) est vraie.

Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes : \[P \text{ et } Q,
\qquad
P \text{ ou } Q,
\qquad
Q \text{ ou } R,
\qquad
P \text{ et } R.\]

Exercice 2

On considère un réel \(x\). On définit : \[A(x) : x\geq 1,
\qquad
B(x) : x<4.\]

Décrire, sous forme d’intervalle ou d’ensemble, les réels \(x\) qui vérifient : \[A(x) \text{ et } B(x),
\qquad
A(x) \text{ ou } B(x).\]

Exercice 3

Pour chaque entier \(n\), on considère les propositions : \[P(n) : n \text{ est pair},
\qquad
Q(n) : n \text{ est multiple de } 3.\]

Pour \(n=10\), \(n=12\) et \(n=15\), déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : \[P(n) \text{ et } Q(n),
\qquad
P(n) \text{ ou } Q(n).\]

Exercice 4

Dans chaque cas, dire si la phrase mathématique est vraie ou fausse. Justifier.

1. \(5>2\) et \(5<4\).
2. \(7\) est impair ou \(7\) est multiple de \(3\).
3. \(0\) est positif ou \(0\) est négatif, en prenant « positif » au sens \(x\geq 0\).
4. \(-2<0\) et \((-2)^2=4\).

Exercices d’approfondissement

Exercice 5

On considère deux propositions \(P\) et \(Q\).

Compléter mentalement les phrases suivantes, puis justifier par une table de vérité :

1. Pour que \(P\) et \(Q\) soit vraie, il faut que \dots
2. Pour que \(P\) ou \(Q\) soit fausse, il faut que \dots
3. Si \(P\) et \(Q\) est vraie, que peut-on dire de \(P\) ou \(Q\) ?

Exercice 6

On considère un réel \(x\) et les propositions : \[P(x) : x^2=4,
\qquad
Q(x) : x>0.\]

Déterminer les réels \(x\) qui vérifient : \[P(x) \text{ et } Q(x),
\qquad
P(x) \text{ ou } Q(x).\]

Justifier soigneusement.

On considère l’implication suivante : \[\text{Si }x>3,\text{ alors }x^2>9.\]

Écrire sa réciproque et sa contraposée.

Correction.

On identifie : \[P : x>3\] et \[Q : x^2>9.\]

L’implication de départ est donc : \[P \Rightarrow Q.\]

Réciproque.

La réciproque est : \[Q \Rightarrow P.\]

Donc : \[\text{Si }x^2>9,\text{ alors }x>3.\]

Cette réciproque est fausse sur \(\mathbb{R}\), car par exemple \(x=-4\) vérifie \[(-4)^2=16>9\] mais ne vérifie pas \[-4>3.\]

Contraposée.

On nie d’abord \(Q\) : \[x^2>9 \quad \text{devient} \quad x^2\leq 9.\]

On nie ensuite \(P\) : \[x>3 \quad \text{devient} \quad x\leq 3.\]

La contraposée est donc : \[\text{Si }x^2\leq 9,\text{ alors }x\leq 3.\]

Cette contraposée est vraie, comme l’implication de départ.

On considère l’implication : \[\text{Si un entier }n\text{ est multiple de }6,\text{ alors }n\text{ est multiple de }3.\]

1. Identifier \(P\) et \(Q\).
2. Écrire la réciproque.
3. Écrire la contraposée.

On considère l’implication : \[\text{Si }x=2,\text{ alors }x^2=4.\]

1. Écrire la réciproque.
2. Écrire la contraposée.
3. Dire si la réciproque est vraie sur \(\mathbb{R}\), en justifiant.

On considère l’implication : \[\text{Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un rectangle.}\]

1. Identifier l’hypothèse et la conclusion.
2. Écrire la réciproque.
3. Écrire la contraposée.
4. Préciser si la réciproque est vraie.

On considère l’implication : \[\text{Si une fonction est dérivable en }a,\text{ alors elle est continue en }a.\]

1. Écrire la réciproque.
2. Écrire la contraposée.
3. Expliquer pourquoi la contraposée est souvent utile pour raisonner.

Soit \(n\) un entier.

On souhaite démontrer l’implication : \[n^2 \text{ est impair} \Rightarrow n \text{ est impair}.\]

1. Écrire la contraposée de cette implication.
2. Démontrer cette contraposée.
3. Conclure sur l’implication de départ.

Implication donnée : \[\text{Si un entier }n\text{ est multiple de }6,\text{ alors }n\text{ est multiple de }3.\]

1. Identification de \(P\) et \(Q\).

On pose : \[P : n \text{ est multiple de }6,\] \[Q : n \text{ est multiple de }3.\]

L’implication est : \[P \Rightarrow Q.\]

2. Réciproque.

La réciproque est : \[Q \Rightarrow P.\]

Donc : \[\text{Si un entier }n\text{ est multiple de }3,\text{ alors }n\text{ est multiple de }6.\]

Cette réciproque est fausse. Par exemple, \(9\) est multiple de \(3\), mais \(9\) n’est pas multiple de \(6\).

3. Contraposée.

La contraposée est : \[\neg Q \Rightarrow \neg P.\]

Donc : \[\text{Si un entier }n\text{ n’est pas multiple de }3,\text{ alors }n\text{ n’est pas multiple de }6.\]

Cette contraposée est vraie, car elle est équivalente à l’implication de départ.

Implication donnée : \[\text{Si }x=2,\text{ alors }x^2=4.\]

On pose : \[P : x=2,\] \[Q : x^2=4.\]

1. Réciproque.

La réciproque est : \[Q \Rightarrow P.\]

Donc : \[\text{Si }x^2=4,\text{ alors }x=2.\]

2. Contraposée.

La négation de \(Q\) est : \[x^2\neq 4.\]

La négation de \(P\) est : \[x\neq 2.\]

La contraposée est donc : \[\text{Si }x^2\neq 4,\text{ alors }x\neq 2.\]

3. Validité de la réciproque sur \(\mathbb{R}\).

La réciproque affirme : \[x^2=4 \Rightarrow x=2.\]

Elle est fausse sur \(\mathbb{R}\), car \(x=-2\) vérifie : \[(-2)^2=4,\] mais \[-2\neq 2.\]

Donc \(-2\) est un contre-exemple.

Implication donnée : \[\text{Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un rectangle.}\]

1. Hypothèse et conclusion.

On pose : \[P : \text{le quadrilatère est un carré},\] \[Q : \text{le quadrilatère est un rectangle}.\]

2. Réciproque.

La réciproque est : \[Q \Rightarrow P.\]

Donc : \[\text{Si un quadrilatère est un rectangle, alors c’est un carré.}\]

3. Contraposée.

La contraposée est : \[\neg Q \Rightarrow \neg P.\]

Donc : \[\text{Si un quadrilatère n’est pas un rectangle, alors ce n’est pas un carré.}\]

4. Validité de la réciproque.

La réciproque est fausse. Un rectangle peut ne pas être un carré : il peut avoir deux longueurs différentes.

Ainsi, l’implication directe est vraie, mais sa réciproque est fausse.

Implication donnée : \[\text{Si une fonction est dérivable en }a,\text{ alors elle est continue en }a.\]

On pose : \[P : \text{la fonction est dérivable en }a,\] \[Q : \text{la fonction est continue en }a.\]

1. Réciproque.

La réciproque est : \[Q \Rightarrow P.\]

Donc : \[\text{Si une fonction est continue en }a,\text{ alors elle est dérivable en }a.\]

Cette réciproque est fausse en général : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable.

2. Contraposée.

La contraposée est : \[\neg Q \Rightarrow \neg P.\]

Donc : \[\text{Si une fonction n’est pas continue en }a,\text{ alors elle n’est pas dérivable en }a.\]

3. Utilité de la contraposée.

La contraposée est utile car elle est équivalente à l’implication de départ.

Ainsi, pour prouver qu’une fonction n’est pas dérivable en \(a\), il suffit parfois de montrer qu’elle n’est pas continue en \(a\).

On utilise alors la propriété : \[P \Rightarrow Q
\quad \Longleftrightarrow \quad
\neg Q \Rightarrow \neg P.\]

On veut démontrer : \[n^2 \text{ est impair} \Rightarrow n \text{ est impair}.\]

On pose : \[P : n^2 \text{ est impair},\] \[Q : n \text{ est impair}.\]

1. Contraposée.

La contraposée est : \[\neg Q \Rightarrow \neg P.\]

Comme \(n\) est un entier, la négation de « \(n\) est impair » est « \(n\) est pair ».

La négation de « \(n^2\) est impair » est « \(n^2\) est pair ».

La contraposée est donc : \[n \text{ est pair} \Rightarrow n^2 \text{ est pair}.\]

2. Démonstration de la contraposée.

Supposons que \(n\) soit pair.

Alors il existe un entier \(k\) tel que : \[n=2k.\]

On calcule : \[n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2).\]

Comme \(2k^2\) est un entier, \(n^2\) est de la forme \(2m\), avec \(m\in\mathbb{Z}\).

Donc \(n^2\) est pair.

3. Conclusion.

On a démontré la contraposée : \[n \text{ pair} \Rightarrow n^2 \text{ pair}.\]

Comme une implication et sa contraposée sont équivalentes, on en déduit : \[n^2 \text{ impair} \Rightarrow n \text{ impair}.\]

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad x^2=4 \Longrightarrow x=2.\]

Montrons que cette propriété est fausse.

Étape 1 : identifier l’ensemble.

On travaille dans \(\mathbb{R}\), donc le contre-exemple doit être un nombre réel.

Étape 2 : repérer l’hypothèse.

L’hypothèse est : \[x^2=4.\]

Étape 3 : rendre la conclusion fausse.

La conclusion est : \[x=2.\]

Pour qu’elle soit fausse, il faut choisir un réel différent de \(2\).

Étape 4 : tester un candidat simple.

Prenons : \[x=-2.\]

Alors : \[(-2)^2=4.\]

L’hypothèse est donc vraie.

Mais : \[-2\neq 2.\]

La conclusion est donc fausse.

Conclusion :

Le nombre \(-2\) est un contre-exemple. La propriété est fausse.

La propriété correcte serait : \[x^2=4 \Longrightarrow x=2\ \text{ou}\ x=-2.\]

1. Propriété : \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2=1 \Longrightarrow x=1\). Nombre proposé : \(-1\).
2. Propriété : \(\forall n\in\mathbb{Z},\ n\ \text{multiple de }4 \Longrightarrow n\ \text{pair}\). Nombre proposé : \(8\).
3. Propriété : \(\forall x\in\mathbb{R},\ x<0 \Longrightarrow x^2<0\). Nombre proposé : \(-2\).

1. \(\forall n\in\mathbb{Z},\ n\ \text{pair} \Longrightarrow n+1\ \text{pair}\).
2. \(\forall x\in\mathbb{R},\ x>0 \Longrightarrow x^2>x\).
3. \(\forall a,b\in\mathbb{R},\ a<b \Longrightarrow a^2<b^2\).
4. \(\forall n\in\mathbb{Z},\ n\ \text{multiple de }6 \Longrightarrow n\ \text{multiple de }3\).

Le tableau suivant donne la valeur de vérité de \(P(x)\) et de \(Q(x)\).

\[\begin{array}{c|ccccc}
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\
\hline
P(x) & V & V & F & V & V\\
Q(x) & V & F & V & V & F
\end{array}\]

Trouver tous les contre-exemples dans \(E\).

\[\forall n\in\mathbb{N},\quad
\bigl(n\ \text{est divisible par }2\ \text{ou par }3\bigr)
\Longrightarrow
n\ \text{est divisible par }6.\]

Construire un contre-exemple et expliquer pourquoi il est valide.

\[\forall a,b\in\mathbb{R},\quad a^2=b^2 \Longrightarrow a=b.\]

1. Donner un contre-exemple.
2. Proposer une condition supplémentaire simple sur \(a\) et \(b\) qui rendrait la propriété vraie.

\[\forall n\in\mathbb{N},\quad
\bigl(n\ \text{impair et }n>1\bigr)
\Longrightarrow
n\ \text{premier}.\]

Il propose \(n=2\) comme contre-exemple.

1. Expliquer pourquoi ce n’est pas un contre-exemple.
2. Donner un contre-exemple efficace.

1. Propriété : \[\forall x\in\mathbb{R},\ x^2=1 \Longrightarrow x=1.\]

   Nombre proposé : \(-1\).

   On vérifie l’hypothèse : \[(-1)^2=1.\] L’hypothèse est vraie.

   On vérifie la conclusion : \[-1\neq 1.\] La conclusion est fausse.

   Donc \(-1\) est bien un contre-exemple.

2. Propriété : \[\forall n\in\mathbb{Z},\ n\ \text{multiple de }4 \Longrightarrow n\ \text{pair}.\]

   Nombre proposé : \(8\).

   On vérifie l’hypothèse : \(8\) est multiple de \(4\), car : \[8=4\times 2.\]

   On vérifie la conclusion : \(8\) est pair.

   Ici, l’hypothèse est vraie et la conclusion est vraie. Donc \(8\) n’est pas un contre-exemple.

3. Propriété : \[\forall x\in\mathbb{R},\ x<0 \Longrightarrow x^2<0.\]

   Nombre proposé : \(-2\).

   On vérifie l’hypothèse : \[-2<0.\] L'hypothèse est vraie.

   On vérifie la conclusion : \[(-2)^2=4.\] Or : \[4\not<0.\] La conclusion est fausse.

   Donc \(-2\) est un contre-exemple.

1. Propriété : \[\forall n\in\mathbb{Z},\ n\ \text{pair} \Longrightarrow n+1\ \text{pair}.\]

   Prenons \(n=0\).

   On a \(0\) pair, donc l’hypothèse est vraie. Mais : \[n+1=0+1=1.\] Or \(1\) n’est pas pair.

   Donc \(n=0\) est un contre-exemple.

2. Propriété : \[\forall x\in\mathbb{R},\ x>0 \Longrightarrow x^2>x.\]

   Prenons : \[x=\frac12.\]

   On a : \[\frac12>0.\] L’hypothèse est vraie.

   Mais : \[\left(\frac12\right)^2=\frac14.\] Or : \[\frac14x\) est faux.

   Ainsi, \(x=\frac12\) est un contre-exemple.

3. Propriété : \[\forall a,b\in\mathbb{R},\ a<b \Longrightarrow a^2<b^2.\]

   Prenons : \[a=-1
   \qquad\text{et}\qquad
   b=0.\]

   On a : \[-1<0.\] L'hypothèse est vraie.

   Mais : \[a^2=(-1)^2=1
   \qquad\text{et}\qquad
   b^2=0^2=0.\] Donc : \[a^2<b^2\] devient : \[1<0,\] ce qui est faux.

   Ainsi, \((a,b)=(-1,0)\) est un contre-exemple.

4. Propriété : \[\forall n\in\mathbb{Z},\ n\ \text{multiple de }6 \Longrightarrow n\ \text{multiple de }3.\]

   Si \(n\) est multiple de \(6\), alors il existe un entier \(k\) tel que : \[n=6k.\]

   Or : \[6k=3(2k).\] Comme \(2k\) est un entier, \(n\) est multiple de \(3\).

   Il n’y a donc pas de contre-exemple : la propriété est vraie.

On lit le tableau colonne par colonne.

\[\begin{array}{c|ccccc}
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\
\hline
P(x) & V & V & F & V & V\\
Q(x) & V & F & V & V & F
\end{array}\]

• Pour \(x=-2\), \(P(x)\) est vraie et \(Q(x)\) est vraie : ce n’est pas un contre-exemple.
• Pour \(x=-1\), \(P(x)\) est vraie et \(Q(x)\) est fausse : c’est un contre-exemple.
• Pour \(x=0\), \(P(x)\) est fausse : ce n’est pas un contre-exemple.
• Pour \(x=1\), \(P(x)\) est vraie et \(Q(x)\) est vraie : ce n’est pas un contre-exemple.
• Pour \(x=2\), \(P(x)\) est vraie et \(Q(x)\) est fausse : c’est un contre-exemple.

Les contre-exemples sont donc : \[x=-1
\qquad\text{et}\qquad
x=2.\]

Prenons : \[n=2.\]

On vérifie l’hypothèse.

Le nombre \(2\) est divisible par \(2\), car : \[2=2\times 1.\]

Donc l’affirmation : \[n\ \text{est divisible par }2\ \text{ou par }3\] est vraie.

On vérifie la conclusion.

Le nombre \(2\) n’est pas divisible par \(6\), car il n’existe pas d’entier \(k\) tel que : \[2=6k.\]

La conclusion est donc fausse.

Ainsi, \(n=2\) est un contre-exemple.

Le mot « ou » est important : il suffit que \(n\) soit divisible par \(2\) ou par \(3\) pour que l’hypothèse soit vraie.

1. Cherchons un contre-exemple.

   Prenons : \[a=1
   \qquad\text{et}\qquad
   b=-1.\]

   On a : \[a^2=1^2=1\] et : \[b^2=(-1)^2=1.\]

   Donc : \[a^2=b^2.\] L’hypothèse est vraie.

   Mais : \[1\neq -1.\] La conclusion \(a=b\) est fausse.

   Donc \((a,b)=(1,-1)\) est un contre-exemple.

2. Pour rendre la propriété vraie, on peut ajouter la condition : \[a\geq 0
   \qquad\text{et}\qquad
   b\geq 0.\]

   En effet, si \(a\geq 0\), \(b\geq 0\) et \(a^2=b^2\), alors : \[|a|=|b|.\]

   Comme \(a\) et \(b\) sont positifs ou nuls : \[|a|=a
   \qquad\text{et}\qquad
   |b|=b.\]

   Donc : \[a=b.\]

   Une propriété corrigée possible est donc : \[\forall a,b\in\mathbb{R},\quad
   \bigl(a\geq 0,\ b\geq 0\ \text{et}\ a^2=b^2\bigr)
   \Longrightarrow a=b.\]

1. L’élève propose \(n=2\).

   Vérifions l’hypothèse : \[n\ \text{impair et }n>1.\]

   Le nombre \(2\) vérifie bien \(2>1\), mais il n’est pas impair. Il est pair.

   Donc l’hypothèse n’est pas vérifiée.

   Ainsi, \(n=2\) n’est pas un contre-exemple.

2. Cherchons un nombre naturel impair, strictement supérieur à \(1\), mais non premier.

   Prenons : \[n=9.\]

   On vérifie l’hypothèse : \[9\ \text{est impair}
   \qquad\text{et}\qquad
   9>1.\]

   L’hypothèse est vraie.

   Vérifions la conclusion : \(9\) n’est pas premier, car : \[9=3\times 3.\]

   Il admet donc un diviseur autre que \(1\) et lui-même.

   La conclusion est fausse.

   Donc \(n=9\) est un contre-exemple efficace.

Exemple 1

Écrire la négation de la proposition suivante :

« Tous les nombres de la liste sont positifs. »

Étape 1 : le quantificateur est « tous ».

Étape 2 : la négation de « tous » est « au moins un … ne … pas ».

Étape 3 : la propriété « être positif » devient « ne pas être positif ».

La négation est donc :

« Au moins un nombre de la liste n’est pas positif. »

Attention : dire « Tous les nombres de la liste sont négatifs » serait trop fort. Il suffit qu’un nombre soit nul ou négatif pour que la proposition de départ soit fausse.

Exemple 2

Écrire la négation de la proposition suivante :

« Il existe au moins un réel dont le carré est égal à \(-1\). »

Étape 1 : l’ensemble concerné est celui des nombres réels.

Étape 2 : le quantificateur est « il existe au moins un ».

Étape 3 : sa négation est « aucun ».

La négation est donc :

« Aucun nombre réel n’a un carré égal à \(-1\). »

Exercice 1

Écrire en langage courant la négation de chacune des propositions suivantes.

1. Tous les rectangles sont des carrés.
2. Au moins un nombre entier est pair.
3. Aucun élève du groupe n’a oublié son cahier.
4. Tous les termes de cette suite sont strictement positifs.

Exercice 2

Écrire en langage courant la négation de chacune des propositions suivantes.

1. Pour chaque réel, son carré est positif ou nul.
2. Il existe au moins un triangle ayant trois angles droits.
3. Aucun point de la droite ne appartient au cercle.
4. Tous les nombres de la liste sont inférieurs à \(10\).

Exercice 3

Pour chaque phrase, écrire sa négation, puis préciser quel type de quantificateur a été modifié.

1. Il existe au moins un jour de la semaine où le club est ouvert.
2. Tous les points de la courbe sont situés au-dessus de l’axe des abscisses.
3. Aucun nombre de la liste n’est divisible par \(3\).

Exercice 4

Écrire en langage courant la négation des propositions suivantes. Les phrases contiennent deux idées : il faut donc être particulièrement précis.

1. Chaque élève de la classe a réussi au moins un exercice.
2. Pour chaque nombre de la liste, il existe un nombre plus grand dans la même liste.

Exercice 5

Une proposition affirme :

« Il existe un unique entier naturel dont le carré est égal à \(4\). »

Écrire sa négation en langage courant.

Correction de l’exercice 1

1. Proposition : « Tous les rectangles sont des carrés. »

   Le quantificateur est « tous ». Sa négation est donc « au moins un … ne … pas ».

   Négation :

   « Au moins un rectangle n’est pas un carré. »

2. Proposition : « Au moins un nombre entier est pair. »

   Le quantificateur est « au moins un ». Sa négation est « aucun ».

   Négation :

   « Aucun nombre entier n’est pair. »

3. Proposition : « Aucun élève du groupe n’a oublié son cahier. »

   Le quantificateur est « aucun ». Sa négation est « au moins un ».

   Négation :

   « Au moins un élève du groupe a oublié son cahier. »

4. Proposition : « Tous les termes de cette suite sont strictement positifs. »

   Le quantificateur est « tous ». On garde le même ensemble : les termes de cette suite.

   Négation :

   « Au moins un terme de cette suite n’est pas strictement positif. »

   Cela signifie qu’au moins un terme est nul ou négatif.

Correction de l’exercice 2

1. Proposition : « Pour chaque réel, son carré est positif ou nul. »

   « Pour chaque » joue le même rôle que « tous ». Sa négation est donc « il existe au moins un … pour lequel ce n’est pas vrai ».

   Négation :

   « Il existe au moins un nombre réel dont le carré n’est pas positif ou nul. »

   On peut aussi dire :

   « Il existe au moins un nombre réel dont le carré est strictement négatif. »

2. Proposition : « Il existe au moins un triangle ayant trois angles droits. »

   La négation de « il existe au moins un » est « aucun ».

   Négation :

   « Aucun triangle n’a trois angles droits. »

3. Proposition : « Aucun point de la droite ne appartient au cercle. »

   La formulation correcte en français courant est : « Aucun point de la droite n’appartient au cercle. »

   La négation de « aucun » est « au moins un ».

   Négation :

   « Au moins un point de la droite appartient au cercle. »

4. Proposition : « Tous les nombres de la liste sont inférieurs à \(10\). »

   Le quantificateur est « tous ». La propriété « être inférieur à \(10\) » est niée.

   Négation :

   « Au moins un nombre de la liste n’est pas inférieur à \(10\). »

   On peut aussi dire :

   « Au moins un nombre de la liste est supérieur ou égal à \(10\). »

Correction de l’exercice 3

1. Proposition : « Il existe au moins un jour de la semaine où le club est ouvert. »

   Le quantificateur est de type existentiel : il affirme l’existence d’au moins un objet.

   Sa négation est :

   « Aucun jour de la semaine, le club n’est ouvert. »

   Formulation plus naturelle :

   « Le club n’est ouvert aucun jour de la semaine. »

2. Proposition : « Tous les points de la courbe sont situés au-dessus de l’axe des abscisses. »

   Le quantificateur est universel : il concerne tous les points de la courbe.

   Sa négation est :

   « Au moins un point de la courbe n’est pas situé au-dessus de l’axe des abscisses. »

3. Proposition : « Aucun nombre de la liste n’est divisible par \(3\). »

   Le quantificateur est « aucun ». Sa négation affirme l’existence d’au moins un exemple.

   Sa négation est :

   « Au moins un nombre de la liste est divisible par \(3\). »

Correction de l’exercice 4

1. Proposition : « Chaque élève de la classe a réussi au moins un exercice. »

   Cette phrase signifie : pour tous les élèves, on peut trouver au moins un exercice réussi.

   Pour nier cette proposition, il faut dire qu’il existe au moins un élève pour lequel cela est faux.

   Pour cet élève, la phrase « il a réussi au moins un exercice » est fausse. Donc il n’a réussi aucun exercice.

   Négation :

   « Il existe au moins un élève de la classe qui n’a réussi aucun exercice. »

2. Proposition : « Pour chaque nombre de la liste, il existe un nombre plus grand dans la même liste. »

   La phrase commence par « pour chaque ». Sa négation commence donc par « il existe au moins un ».

   Pour ce nombre particulier, la phrase « il existe un nombre plus grand dans la même liste » est fausse.

   Négation :

   « Il existe au moins un nombre de la liste pour lequel aucun nombre de la même liste n’est plus grand. »

Correction de l’exercice 5

Proposition :

« Il existe un unique entier naturel dont le carré est égal à \(4\). »

Le mot « unique » signifie : il en existe exactement un.

La négation de « il existe exactement un » est :

« il n’en existe pas exactement un ».

Cela peut arriver de deux façons :

• soit il n’en existe aucun ;
• soit il en existe au moins deux.

Négation :

« Aucun entier naturel n’a un carré égal à \(4\), ou bien au moins deux entiers naturels ont un carré égal à \(4\). »

Cette formulation est plus longue, mais elle est nécessaire : nier l’unicité ne signifie pas seulement nier l’existence.