Vocabulaire ensembliste de base
Maîtriser les notations et opérations ensemblistes nécessaires dans tout le programme.
Présentation du chapitre
Cours
Introduire les notions d’appartenance, de sous-ensemble, d’opérations ensemblistes et de cardinal.
Objectif des exercices
Manipuler des ensembles de nombres ou de solutions dans des situations simples.
Prérequis
Ensembles de nombres vus en seconde, Intervalles de ℝ et droite graduée
Parcours du chapitre
- Appartenance et inclusion Utiliser correctement les notations d’appartenance et d’inclusion pour décrire des ensembles simples.
- Opérations sur les ensembles Construire des ensembles par réunion, intersection et complémentaire dans des situations concrètes.
- Intervalles de réels et ensembles de nombres Noter un ensemble de réels par un intervalle adapté en fonction d’une contrainte donnée.
- Produit cartésien et couples Relier le produit cartésien de deux ensembles à la notion de couple et à des exemples graphiques.
Appartenance et inclusion
CAP-1G_MATH_SPE-MATH-001-002-001
Appartenance et inclusion
Pourquoi apprend-on cela ?
Savoir écrire correctement qu’un objet est dans un ensemble ou qu’un ensemble est contenu dans un autre évite beaucoup d’erreurs de raisonnement, notamment lors de la résolution d’équations ou d’inéquations.
Objectif de la capsule
- utiliser correctement les symboles \(\in\) et \(\notin\) ;
- utiliser correctement les symboles \(\subseteq\) et \(\not\subseteq\) ;
- distinguer un élément d’un ensemble ;
- distinguer appartenance et inclusion.
Prérequis utiles
- Les ensembles de nombres : \[\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{D}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}.\]
- Les intervalles de \(\mathbb{R}\), par exemple \([-1\,;\,3[\).
- La lecture d’une droite graduée.
Cette représentation montre les inclusions entre ensembles de nombres. Par exemple, tout entier naturel est un entier relatif, donc \(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\).
Cours
1. Ensemble et élément
Si \(a\) est un élément de l’ensemble \(E\), on écrit : \[a\in E.\]
Si \(a\) n’est pas un élément de l’ensemble \(E\), on écrit : \[a\notin E.\]
Par exemple, si \[A=\{-2\,;\,0\,;\,3\,;\,5\},\] alors : \[3\in A
\qquad\text{et}\qquad
1\notin A.\]
2. Inclusion
On dit que \(A\) est inclus dans \(B\) lorsque tous les éléments de \(A\) sont aussi des éléments de \(B\).
On écrit : \[A\subseteq B.\]
Définition rigoureuse : \[A\subseteq B
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{pour tout }x,\; x\in A \Rightarrow x\in B.\]
Pour montrer que \(A\not\subseteq B\), il suffit de trouver un élément de \(A\) qui n’appartient pas à \(B\).
Sur ce schéma : \[x\in A,\qquad x\in B,\qquad y\in B,\qquad y\notin A,\qquad z\notin B.\] Comme toute la zone \(A\) est contenue dans la zone \(B\), on a : \[A\subseteq B.\]
3. Appartenance ou inclusion : bien distinguer
Le symbole \(\subseteq\) relie un ensemble à un ensemble.
\[\begin{array}{c|c|c}
\text{Notation} & \text{Lecture} & \text{Nature des objets} \\
\hline
a\in A & a \text{ appartient à } A & \text{élément } \longrightarrow \text{ ensemble} \\
A\subseteq B & A \text{ est inclus dans } B & \text{ensemble } \longrightarrow \text{ ensemble}
\end{array}\]
Attention : \[2\in \{1\,;\,2\,;\,3\}\] mais \[\{2\}\subseteq \{1\,;\,2\,;\,3\}.\]
Le nombre \(2\) est un élément. L’objet \(\{2\}\) est un ensemble contenant un seul élément : c’est un singleton.
4. Inclusion et égalité d'ensembles
Une méthode importante consiste à utiliser la double inclusion : \[A=B
\quad\Longleftrightarrow\quad
A\subseteq B \text{ et } B\subseteq A.\]
Deux propriétés utiles : \[A\subseteq A\] et \[\emptyset\subseteq A.\]
L’ensemble vide \(\emptyset\) ne contient aucun élément. Il est inclus dans tout ensemble.
5. Cas des intervalles
Par exemple : \[I=[-1\,;\,3[\] désigne l’ensemble des réels \(x\) tels que : \[-1\leq x<3.\]
Donc : \[-1\in I,\qquad 2\in I,\qquad 3\notin I.\]
Le point plein signifie que \(-1\) est inclus. Le point ouvert signifie que \(3\) est exclu.
Méthode
Choisir entre \(\in\) et \(\subseteq\)
- Identifier la nature de l’objet à gauche.
- Si c’est un nombre, un point, une solution : on pense à \(\in\).
- Si c’est un ensemble, une liste entre accolades, un intervalle : on pense à \(\subseteq\).
- Identifier l’ensemble de droite.
- Vérifier la phrase mathématique.
- \(a\in A\) signifie : « \(a\) est un élément de \(A\) ».
- \(A\subseteq B\) signifie : « tous les éléments de \(A\) sont dans \(B\) ».
Exemple corrigé
Exemple : distinguer appartenance et inclusion
\qquad\text{et}\qquad
B=\{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}.\]
Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : \[2\in A,\qquad
\{2\}\subseteq A,\qquad
A\subseteq B,\qquad
4\in A.\]
Correction détaillée.
- \(2\in A\) est vrai, car \(2\) est bien un élément de la liste qui définit \(A\).
- \(\{2\}\subseteq A\) est vrai, car l’unique élément de l’ensemble \(\{2\}\), c’est-à-dire \(2\), appartient à \(A\).
- \(A\subseteq B\) est vrai, car tous les éléments de \(A\), c’est-à-dire \(1\), \(2\) et \(3\), appartiennent aussi à \(B\).
- \(4\in A\) est faux, car \(4\) n’apparaît pas dans l’ensemble \(A\).
Conclusion : \[2\in A,\qquad \{2\}\subseteq A,\qquad A\subseteq B,\qquad 4\notin A.\]
Erreurs fréquentes
Erreur 1 : confondre \(\in\) et \(\subseteq\)
Il faut écrire : \[2\in A.\]
Point de vigilance : \(\in\) sert pour un élément, \(\subseteq\) sert pour un ensemble.
Erreur 2 : confondre \(2\) et \(\{2\}\)
On écrit : \[2\in \{1\,;\,2\,;\,3\}\] mais : \[\{2\}\subseteq \{1\,;\,2\,;\,3\}.\]
Astuce : les accolades \(\{\ \}\) indiquent un ensemble.
Erreur 3 : croire qu'une inclusion se vérifie avec un seul élément
Il faut vérifier que tous les éléments de \(A\) sont dans \(B\).
En revanche, pour montrer que \(A\not\subseteq B\), un seul contre-exemple suffit.
Exercices d'application
Exercice 1
\qquad\text{et}\qquad
B=\{0\,;\,3\}.\]
- Compléter avec \(\in\) ou \(\notin\) : \[3\ \ldots\ A,
\qquad
-1\ \ldots\ A,
\qquad
0\ \ldots\ B,
\qquad
5\ \ldots\ B.\] - Compléter avec \(\subseteq\) ou \(\not\subseteq\) : \[B\ \ldots\ A,
\qquad
A\ \ldots\ B.\]
Exercice 2
\qquad
C=\{\{1\}\,;\,2\,;\,4\},
\qquad
D=\{1\,;\,2\,;\,4\,;\,6\}.\]
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. Corriger les affirmations fausses lorsque c’est possible.
\[1\in A,
\qquad
\{1\}\in A,
\qquad
\{1\}\subseteq A,
\qquad
\{1\}\in C,
\qquad
A\subseteq D.\]
Exercice 3
\qquad
J=]-1\,;\,3],
\qquad
K=[-2\,;\,5].\]
- Déterminer si les nombres \(-2\), \(3\) et \(4\) appartiennent à \(I\).
- Déterminer si les inclusions suivantes sont vraies : \[J\subseteq I,
\qquad
I\subseteq K,
\qquad
K\subseteq I.\]
Exercice d'approfondissement
Exercice 4
\qquad
T=\{2\,;\,3\,;\,4\},
\qquad
U=[2\,;\,3].\]
- Déterminer l’ensemble \(S\).
- Écrire deux phrases mathématiques utilisant \(\in\) ou \(\notin\) pour les nombres \(2\) et \(4\) avec l’ensemble \(S\).
- Déterminer si les inclusions suivantes sont vraies : \[S\subseteq T,
\qquad
S\subseteq U,
\qquad
U\subseteq T.\]
Synthèse
À retenir
- \(a\in A\) signifie que \(a\) est un élément de \(A\).
- \(a\notin A\) signifie que \(a\) n’est pas un élément de \(A\).
- \(A\subseteq B\) signifie que tous les éléments de \(A\) appartiennent à \(B\).
- Pour prouver \(A\not\subseteq B\), il suffit de trouver un élément de \(A\) qui n’est pas dans \(B\).
- Un nombre \(a\) et le singleton \(\{a\}\) sont deux objets différents.
Corrections détaillées
Correction de l'exercice 1
\qquad\text{et}\qquad
B=\{0\,;\,3\}.\]
- On vérifie si chaque nombre apparaît dans l’ensemble indiqué.
\[3\in A\] car \(3\) est dans la liste des éléments de \(A\).
\[-1\notin A\] car \(-1\) n’apparaît pas dans \(A\).
\[0\in B\] car \(0\) est dans \(B\).
\[5\notin B\] car \(5\) n’apparaît pas dans \(B\).
- Pour l’inclusion, on compare les ensembles.
Les éléments de \(B\) sont \(0\) et \(3\). Ils appartiennent tous les deux à \(A\), donc : \[B\subseteq A.\]
En revanche, \(A\) contient \(-2\) et \(5\), qui ne sont pas dans \(B\). Donc : \[A\not\subseteq B.\]
Correction de l'exercice 2
\qquad
C=\{\{1\}\,;\,2\,;\,4\},
\qquad
D=\{1\,;\,2\,;\,4\,;\,6\}.\]
- \(1\in A\) est vrai, car \(1\) est un élément de \(A\).
- \(\{1\}\in A\) est faux. L’ensemble \(A\) contient le nombre \(1\), mais il ne contient pas le singleton \(\{1\}\).
- \(\{1\}\subseteq A\) est vrai, car l’unique élément de \(\{1\}\), c’est-à-dire \(1\), appartient à \(A\).
- \(\{1\}\in C\) est vrai, car \(\{1\}\) est explicitement l’un des éléments de \(C\).
- \(A\subseteq D\) est vrai, car tous les éléments de \(A\), c’est-à-dire \(1\), \(2\) et \(4\), appartiennent à \(D\).
Conclusion : \[1\in A,\qquad
\{1\}\notin A,\qquad
\{1\}\subseteq A,\qquad
\{1\}\in C,\qquad
A\subseteq D.\]
Correction de l'exercice 3
\qquad
J=]-1\,;\,3],
\qquad
K=[-2\,;\,5].\]
Représentons les trois intervalles sur une droite graduée.
- L’intervalle \(I=[-2\,;\,4[\) contient les réels \(x\) tels que : \[-2\leq x<4.\]
Donc : \[-2\in I,
\qquad
3\in I,
\qquad
4\notin I.\]Le crochet fermé en \(-2\) signifie que \(-2\) est inclus. Le crochet ouvert en \(4\) signifie que \(4\) est exclu.
- On compare maintenant les intervalles.
L’intervalle \(J=]-1\,;\,3]\) est entièrement contenu dans \(I=[-2\,;\,4[\). Donc : \[J\subseteq I.\]
L’intervalle \(I=[-2\,;\,4[\) est entièrement contenu dans \(K=[-2\,;\,5]\). Donc : \[I\subseteq K.\]
En revanche, \(K\) n’est pas inclus dans \(I\), car par exemple \(5\in K\) mais \(5\notin I\). Donc : \[K\not\subseteq I.\]
Correction de l'exercice 4
\qquad
T=\{2\,;\,3\,;\,4\},
\qquad
U=[2\,;\,3].\]
- On détermine d’abord l’ensemble des solutions de l’équation : \[x^2-5x+6=0.\]
On factorise : \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]
Donc : \[(x-2)(x-3)=0.\]
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \[x-2=0
\quad\text{ou}\quad
x-3=0.\]Ainsi : \[x=2
\quad\text{ou}\quad
x=3.\]Donc : \[S=\{2\,;\,3\}.\]
- Comme \(S=\{2\,;\,3\}\), on a : \[2\in S.\]
En revanche, \(4\) n’est pas solution de l’équation, donc : \[4\notin S.\]
- On étudie les inclusions.
Comme \(S=\{2\,;\,3\}\) et que \(2\) et \(3\) appartiennent tous les deux à \(T=\{2\,;\,3\,;\,4\}\), on a : \[S\subseteq T.\]
Comme \(U=[2\,;\,3]\) contient tous les réels entre \(2\) et \(3\), il contient en particulier \(2\) et \(3\). Donc : \[S\subseteq U.\]
En revanche, \(U\not\subseteq T\). Par exemple : \[2{,}5\in U\] mais \[2{,}5\notin T.\]
Donc : \[U\not\subseteq T.\]
Opérations sur les ensembles
CAP-1G_MATH_SPE-MATH-001-002-002
Pourquoi apprend-on cela ?
Cours
Les opérations ensemblistes permettent de construire précisément de nouveaux ensembles : \[A\cup B,\qquad A\cap B,\qquad A^c.\] Elles sont indispensables pour résoudre des inéquations, décrire des intervalles, compter des éléments et formuler correctement un raisonnement logique.
Objectif de la capsule
Cours
- la réunion de deux ensembles ;
- l’intersection de deux ensembles ;
- le complémentaire d’un ensemble dans un ensemble de référence ;
- le cardinal d’ensembles finis obtenus par ces opérations.
Prérequis utiles
Cours
- Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments.
- Si \(x\) est un élément de \(A\), on écrit : \[x\in A.\]
- Si tous les éléments de \(A\) appartiennent aussi à \(B\), on écrit : \[A\subset B.\] On dit que \(A\) est un sous-ensemble de \(B\).
- Les intervalles de \(\mathbb{R}\) sont des ensembles de nombres réels.
Cours
Ce schéma signifie par exemple que tout entier naturel est un entier relatif, mais qu’un entier relatif comme \(-3\) n’est pas un entier naturel.
Cours
1. Ensemble de référence
Cours
Si \(A\subset E\), alors le complémentaire de \(A\) dans \(E\) est l’ensemble des éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\).
On le note : \[A^c \quad \text{ou} \quad E\setminus A.\]
Définition : \[E\setminus A=\{x\in E\mid x\notin A\}.\]
Le complémentaire dépend donc de l’ensemble de référence choisi.
2. Réunion et intersection
Cours
\[A\cup B=\{x\in E\mid x\in A \text{ ou } x\in B\}.\]
La réunion \(A\cup B\) contient les éléments qui sont dans \(A\), dans \(B\), ou dans les deux.
\[A\cap B=\{x\in E\mid x\in A \text{ et } x\in B\}.\]
L’intersection \(A\cap B\) contient les éléments communs à \(A\) et \(B\).
Cours
- la zone grisée de \(A\cup B\) représente tout ce qui appartient à au moins l’un des deux ensembles ;
- la zone grisée de \(A\cap B\) représente uniquement ce qui appartient aux deux ensembles ;
- la zone grisée de \(E\setminus A\) représente ce qui est dans \(E\), mais pas dans \(A\).
3. Cas particulier : ensembles disjoints
Cours
Cela se traduit par : \[A\cap B=\varnothing.\]
Attention : deux ensembles disjoints peuvent avoir une réunion non vide.
4. Cardinal d'un ensemble fini
Cours
On le note : \[\operatorname{Card}(A) \quad \text{ou} \quad |A|.\]
Si \(A\) et \(B\) sont deux ensembles finis, alors : \[\operatorname{Card}(A\cup B)
=
\operatorname{Card}(A)
+
\operatorname{Card}(B)
–
\operatorname{Card}(A\cap B).\]
On soustrait \(\operatorname{Card}(A\cap B)\), car les éléments communs ont été comptés deux fois dans la somme \(\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)\).
Méthode
Méthode
- Identifier l’ensemble de référence \(E\), s’il est nécessaire.
- Repérer les éléments de \(A\) et les éléments de \(B\).
- Pour \(A\cap B\), garder seulement les éléments communs.
- Pour \(A\cup B\), garder tous les éléments présents dans au moins un des deux ensembles.
- Pour \(E\setminus A\), garder les éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\).
- Pour un cardinal, compter les éléments sans doublon.
Méthode
- Une extrémité incluse se représente par un point plein.
- Une extrémité exclue se représente par un point vide.
- L’intersection correspond à la partie commune des intervalles.
- La réunion correspond à toute la zone couverte par au moins un intervalle.
Exemple corrigé
Exemple
\quad \text{et} \quad
B=\{3;4;5;6\}.\]
Déterminer \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(E\setminus A\), puis les cardinaux correspondants.
Exemple
Les éléments communs à \(A\) et \(B\) sont \(3\) et \(4\). Donc : \[A\cap B=\{3;4\}.\]
Étape 2 : réunion.
On regroupe tous les éléments qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\), sans écrire deux fois les éléments communs : \[A\cup B=\{1;2;3;4;5;6\}.\]
Étape 3 : complémentaire.
On cherche les éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\). Comme \(A=\{1;2;3;4\}\), il reste : \[E\setminus A=\{5;6;7;8\}.\]
Étape 4 : cardinaux.
\[\operatorname{Card}(A)=4,\qquad
\operatorname{Card}(B)=4,\qquad
\operatorname{Card}(A\cap B)=2.\]
Donc : \[\operatorname{Card}(A\cup B)=4+4-2=6.\]
On vérifie bien que \(A\cup B=\{1;2;3;4;5;6\}\) contient \(6\) éléments.
Exemple
Exemple avec des intervalles
Exemple
\quad \text{et} \quad
J=[1;5[.\]
Déterminer \(I\cap J\) et \(I\cup J\).
Exemple
Donc : \[I\cap J=[1;3].\]
Les deux intervalles se touchent et se recouvrent. Leur réunion forme un seul intervalle allant de \(-2\) inclus à \(5\) exclu.
Donc : \[I\cup J=[-2;5[.\]
Erreurs fréquentes
Cours
\[A\cup B\] signifie : dans \(A\) ou dans \(B\).
\[A\cap B\] signifie : dans \(A\) et dans \(B\).
Astuce : l’intersection est souvent plus petite que chacun des deux ensembles.
Cours
Dire « le complémentaire de \(A\) » n’est pas suffisant si on ne sait pas dans quel ensemble on travaille.
Par exemple, le complémentaire de \([0;1]\) n’est pas le même dans \(\mathbb{R}\) que dans \([0;2]\).
Cours
Si un élément appartient à \(A\cap B\), il appartient à la fois à \(A\) et à \(B\). Dans le calcul \[\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B),\] il est donc compté deux fois.
C’est pourquoi on utilise : \[\operatorname{Card}(A\cup B)
=
\operatorname{Card}(A)
+
\operatorname{Card}(B)
–
\operatorname{Card}(A\cap B).\]
Exercices d'application
Exemple
On considère : \[E=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\},\] \[A=\{2;4;6;8;10\}
\quad \text{et} \quad
B=\{1;2;3;4;5\}.\]
Déterminer : \[A\cap B,\qquad A\cup B,\qquad E\setminus A,\] puis calculer : \[\operatorname{Card}(A),\quad \operatorname{Card}(B),\quad
\operatorname{Card}(A\cap B),\quad \operatorname{Card}(A\cup B).\]
Exemple
On considère les intervalles : \[I=]-3;2]
\quad \text{et} \quad
J=[0;5[.\]
Déterminer : \[I\cap J
\quad \text{et} \quad
I\cup J.\]
Représenter les deux intervalles sur une droite graduée.
Exemple
Dans une classe de \(32\) élèves, on note :
- \(A\) l’ensemble des élèves inscrits à l’atelier théâtre ;
- \(B\) l’ensemble des élèves inscrits à l’atelier musique.
On sait que : \[\operatorname{Card}(A)=14,\qquad
\operatorname{Card}(B)=11,\qquad
\operatorname{Card}(A\cap B)=5.\]
Calculer :
- le nombre d’élèves inscrits à au moins un des deux ateliers ;
- le nombre d’élèves inscrits à aucun des deux ateliers.
Exercices d'approfondissement
Exemple
On considère les ensembles de réels : \[A=\{x\in\mathbb{R}\mid -1\leq x2\}.\]
Déterminer : \[A\cap B,\qquad A\cup B,\qquad \mathbb{R}\setminus A.\]
Exemple
On considère un ensemble de référence \(E\), et deux sous-ensembles \(A\) et \(B\) de \(E\).
On suppose que : \[A\subset B.\]
Répondre aux questions suivantes en justifiant :
- Que vaut \(A\cap B\) ?
- Que vaut \(A\cup B\) ?
- Peut-on avoir \(B\subset A\) sans avoir \(A=B\) ?
Synthèse
Cours
\[A\cup B=\{x\mid x\in A \text{ ou } x\in B\}.\]
\[A\cap B=\{x\mid x\in A \text{ et } x\in B\}.\]
\[E\setminus A=\{x\in E\mid x\notin A\}.\]
Pour des ensembles finis : \[\operatorname{Card}(A\cup B)
=
\operatorname{Card}(A)
+
\operatorname{Card}(B)
–
\operatorname{Card}(A\cap B).\]
La réunion correspond à « au moins l’un des deux ». L’intersection correspond à « les deux à la fois ». Le complémentaire correspond à « dans l’ensemble de référence, mais pas dans l’ensemble ».
Corrections détaillées
Correction de l'exercice 1
Exemple
\qquad
B=\{1;2;3;4;5\}.\]
Intersection.
Les éléments communs à \(A\) et \(B\) sont \(2\) et \(4\). Donc : \[A\cap B=\{2;4\}.\]
Réunion.
On regroupe tous les éléments appartenant à \(A\) ou à \(B\), sans doublon : \[A\cup B=\{1;2;3;4;5;6;8;10\}.\]
Complémentaire de \(A\) dans \(E\).
On garde les éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\) : \[E\setminus A=\{1;3;5;7;9\}.\]
Cardinaux.
\[\operatorname{Card}(A)=5,
\qquad
\operatorname{Card}(B)=5,
\qquad
\operatorname{Card}(A\cap B)=2.\]
Donc : \[\operatorname{Card}(A\cup B)=5+5-2=8.\]
Cela correspond bien aux \(8\) éléments de l’ensemble \[A\cup B=\{1;2;3;4;5;6;8;10\}.\]
Correction de l'exercice 2
Exemple
\quad \text{et} \quad
J=[0;5[.\]
Intersection.
La partie commune aux deux intervalles commence à \(0\) et se termine à \(2\).
Le nombre \(0\) appartient à \(J\) et aussi à \(I\), car \(0>-3\) et \(0\leq 2\).
Le nombre \(2\) appartient à \(I\), et il appartient aussi à \(J\), car \(2<5\).
Donc : \[I\cap J=[0;2].\]
Réunion.
L’intervalle \(I\) couvre les réels strictement supérieurs à \(-3\) jusqu’à \(2\) inclus. L’intervalle \(J\) couvre les réels de \(0\) inclus jusqu’à \(5\) exclu.
Les deux intervalles se recouvrent entre \(0\) et \(2\), donc la réunion forme un seul intervalle : \[I\cup J=]-3;5[.\]
Correction de l'exercice 3
Exemple
\qquad
\operatorname{Card}(B)=11,
\qquad
\operatorname{Card}(A\cap B)=5.\]
1. Élèves inscrits à au moins un atelier.
Être inscrit à au moins un des deux ateliers signifie appartenir à : \[A\cup B.\]
On utilise la formule : \[\operatorname{Card}(A\cup B)
=
\operatorname{Card}(A)
+
\operatorname{Card}(B)
–
\operatorname{Card}(A\cap B).\]
Donc : \[\operatorname{Card}(A\cup B)=14+11-5=20.\]
Il y a donc \(20\) élèves inscrits à au moins un atelier.
2. Élèves inscrits à aucun atelier.
La classe contient \(32\) élèves. Les élèves inscrits à aucun atelier sont ceux qui ne sont pas dans \(A\cup B\).
Donc : \[32-20=12.\]
Il y a donc \(12\) élèves inscrits à aucun des deux ateliers.
Exemple
- \(5\) élèves sont dans les deux ateliers ;
- \(14-5=9\) élèves sont uniquement dans \(A\) ;
- \(11-5=6\) élèves sont uniquement dans \(B\) ;
- \(12\) élèves sont dans aucun des deux ateliers.
Correction de l'exercice 4
Exemple
Intersection.
On cherche les réels qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\).
Ils doivent vérifier : \[-1\leq x2.\]
Cela donne : \[2<x<4.\]
Donc : \[A\cap B=]2;4[.\]
Réunion.
L’ensemble \(A\) contient les réels de \(-1\) inclus à \(4\) exclu. L’ensemble \(B\) contient tous les réels strictement supérieurs à \(2\).
En réunissant les deux, on obtient tous les réels à partir de \(-1\) inclus, sans interruption : \[A\cup B=[-1;+\infty[.\]
Complémentaire de \(A\) dans \(\mathbb{R}\).
On enlève de \(\mathbb{R}\) les réels de \([-1;4[\).
Il reste : \[\mathbb{R}\setminus A=]-\infty;-1[\cup[4;+\infty[.\]
Le nombre \(-1\) n’est pas dans le complémentaire, car \(-1\in A\). Le nombre \(4\) est dans le complémentaire, car \(4\notin A\).
Correction de l'exercice 5
Exemple
Cela signifie que tout élément de \(A\) appartient aussi à \(B\).
1. Intersection.
L’intersection \(A\cap B\) contient les éléments qui sont à la fois dans \(A\) et dans \(B\).
Comme tous les éléments de \(A\) sont déjà dans \(B\), les éléments communs sont exactement les éléments de \(A\).
Donc : \[A\cap B=A.\]
2. Réunion.
La réunion \(A\cup B\) contient les éléments qui sont dans \(A\) ou dans \(B\).
Mais comme \(A\subset B\), ajouter \(A\) à \(B\) ne crée aucun nouvel élément.
Donc : \[A\cup B=B.\]
3. Peut-on avoir \(B\subset A\) sans avoir \(A=B\) ?
Si on a à la fois : \[A\subset B
\quad \text{et} \quad
B\subset A,\] alors les deux ensembles ont exactement les mêmes éléments.
Donc : \[A=B.\]
On ne peut donc pas avoir \(B\subset A\) en plus de \(A\subset B\) sans avoir \(A=B\).
Exemple
Intervalles de réels et ensembles de nombres
CAP-1G_MATH_SPE-MATH-001-002-003
Intervalles de réels et ensembles de nombres
Pourquoi apprend-on cela ?
Par exemple : \[x\geq 2,\qquad -1<x\leq 4,\qquad x<0\ \text{ou}\ x\geq 3.\]
Écrire ces ensembles avec des intervalles permet d’être plus précis, plus rapide et plus lisible. Cette notation est utilisée dans l’étude de fonctions, les inéquations, les probabilités continues et les domaines de définition.
Objectif
À la fin de cette capsule, il faut savoir passer de : \[\text{contrainte sur }x
\quad\longleftrightarrow\quad
\text{intervalle}
\quad\longleftrightarrow\quad
\text{représentation sur une droite graduée}.\]
Prérequis utiles
\[\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}.\]
2. Appartenance
Si un nombre appartient à un ensemble, on écrit : \[3\in \mathbb{N}.\]
S’il n’appartient pas à un ensemble, on écrit : \[-2\notin \mathbb{N}.\]
3. Sous-ensemble
Dire que \(A\subset B\) signifie que tout élément de \(A\) appartient aussi à \(B\). Par exemple : \[\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}.\]
Cours : écrire un intervalle
1. Bornes incluses ou exclues
Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a<b\).
\[[a;b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}.\]
Les crochets vers l’intérieur signifient que les bornes sont incluses.
\[]a;b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}.\]
Les crochets vers l’extérieur signifient que les bornes sont exclues.
\[[a;b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\},
\qquad
]a;b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\}.\]
Sur cette droite graduée, \(1\) est inclus, car le point est plein. Le nombre \(4\) est exclu, car le point est vide.
Cours : intervalles non bornés
\[[a;+\infty[=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\}.\]
\[]a;+\infty[=\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\}.\]
\[]-\infty;b]=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\}.\]
\[]-\infty;b[=\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\}.\]
Attention : \[+\infty \quad \text{et} \quad -\infty\] ne sont pas des nombres réels. Ils ne sont donc jamais inclus. On écrit toujours un crochet ouvert du côté de l’infini : \[]-\infty;b],\qquad [a;+\infty[.\]
Cette représentation correspond à tous les réels strictement supérieurs à \(-1\).
Cours
\[x\geq 1\ \textbf{et}\ x<4\] signifie que les deux contraintes doivent être vraies en même temps. On obtient une intersection : \[[1;+\infty[\cap ]-\infty;4[=[1;4[.\]
\[x<1\ \textbf{ou}\ x\geq 4\] signifie qu'au moins une des contraintes doit être vraie. On obtient une réunion : \[]-\infty;1[\cup [4;+\infty[.\]
Méthode : passer d'une contrainte à un intervalle
- Repérer les bornes.
- Regarder si chaque borne est incluse ou exclue.
- Choisir le crochet : \[\leq \text{ ou } \geq \Rightarrow \text{borne incluse},
\qquad
\Rightarrow \text{borne exclue}.\] - Si la contrainte va vers l’infini, écrire un crochet ouvert du côté de l’infini.
- En présence de \og et \fg, chercher la partie commune.
- En présence de \og ou \fg, réunir les parties possibles.
\begintabular|c|c| \hline Contrainte & Intervalle correspondant
\hline \(a\leq x\leq b\) & \([a;b]\)
\hline \(a<x<b\) & \(]a;b[\)
\hline \(a\leq x<b\) & \([a;b[\)
\hline \(x\geq a\) & \([a;+\infty[\)
\hline \(x<a\) & \(]-\infty;a[\)
\hline \endtabular
Exemple corrigé
Correction.
Les bornes sont \(-2\) et \(3\).
La contrainte \(-2<x\) signifie que \(-2\) est exclu. On utilise donc un crochet ouvert en \(-2\).
La contrainte \(x\leq 3\) signifie que \(3\) est inclus. On utilise donc un crochet fermé en \(3\).
Ainsi : \[\{x\in\mathbb{R}\mid -2<x\leq 3\}=]-2;3].\]
Conclusion. L’ensemble cherché est : \[\boxed{]-2;3]}.\]
Erreurs fréquentes
Écrire \([2;5]\) pour \(2<x<5\) est faux, car les nombres \(2\) et \(5\) ne vérifient pas les inégalités strictes.
Pour éviter cette erreur : \[ \Rightarrow \text{crochet ouvert},
\qquad
\leq \text{ ou } \geq \Rightarrow \text{crochet fermé}.\]
Erreur 2 : fermer un intervalle en \(+\infty\) ou en \(-\infty\).
On n’écrit jamais \([2;+\infty]\). L’infini n’est pas un nombre réel.
La bonne notation est : \[[2;+\infty[.\]
Erreur 3 : inverser les bornes.
On n’écrit pas \([5;2]\) pour décrire les réels entre \(2\) et \(5\). La borne de gauche doit être la plus petite.
La bonne notation est : \[[2;5].\]
Erreur 4 : confondre \og et \fg et \og ou \fg.
Avec \og et \fg, on cherche les nombres qui vérifient toutes les contraintes. Avec \og ou \fg, on accepte plusieurs zones possibles.
Exercices d'application
Exercice 1
- \(1\leq x\leq 6\)
- \(-3<x<2\)
- \(x\geq -1\)
- \(x<4\)
- \(0\leq x<7\)
Exercice 2
- \(]-2;5]\)
- \([0;+\infty[\)
- \(]-\infty;3[\)
Exercice 3
- \(x\geq 2\) et \(x<8\)
- \(x<-1\) ou \(x\geq 4\)
- \(-5\leq x\) et \(x\leq 1\)
- \(x>0\) ou \(x\leq -2\)
Exercices d'approfondissement
Exercice 4
- \(2x-3\leq 5\)
- \(-3x+1<10\)
- \(4\leq 2x+6<12\)
Exercice 5
\qquad
B=]1;6].\]
- Représenter \(A\) et \(B\) sur une droite graduée.
- Déterminer \(A\cap B\).
- Déterminer \(A\cup B\).
Synthèse
- une inégalité large \(\leq\) ou \(\geq\) donne une borne incluse ;
- une inégalité stricte \(\) donne une borne exclue ;
- \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont jamais inclus ;
- le mot \og et \fg correspond à une intersection ;
- le mot \og ou \fg correspond à une réunion ;
- une droite graduée permet de vérifier visuellement les bornes et les zones retenues.
Les trois écritures suivantes doivent raconter la même chose : \[-2<x\leq 3
\quad\longleftrightarrow\quad
]-2;3]
\quad\longleftrightarrow\quad
\text{segment de }-2\text{ exclu à }3\text{ inclus}.\]
Corrections détaillées
Correction de l'exercice 1
- \(1\leq x\leq 6\)
Les deux bornes sont incluses, car les inégalités sont larges. \[\boxed{[1;6]}.\]
- \(-3<x<2\)
Les deux bornes sont exclues, car les inégalités sont strictes. \[\boxed{]-3;2[}.\]
- \(x\geq -1\)
Le nombre \(-1\) est inclus et l’ensemble part vers \(+\infty\). \[\boxed{[-1;+\infty[}.\]
- \(x<4\)
Le nombre \(4\) est exclu et l’ensemble vient de \(-\infty\). \[\boxed{]-\infty;4[}.\]
- \(0\leq x<7\)
Le nombre \(0\) est inclus et le nombre \(7\) est exclu. \[\boxed{[0;7[}.\]
Correction de l'exercice 2
- \(]-2;5]\)
Le crochet est ouvert en \(-2\), donc \(-2\) est exclu. Le crochet est fermé en \(5\), donc \(5\) est inclus. \[\boxed{-2<x\leq 5}.\]
- \([0;+\infty[\)
Le nombre \(0\) est inclus. L’intervalle contient tous les réels supérieurs ou égaux à \(0\). \[\boxed{x\geq 0}.\]
- \(]-\infty;3[\)
Le nombre \(3\) est exclu. L’intervalle contient tous les réels strictement inférieurs à \(3\). \[\boxed{x<3}.\]
Correction de l'exercice 3
- \(x\geq 2\) et \(x<8\)
Le mot \og et \fg signifie que les deux conditions doivent être vérifiées simultanément. On garde donc les réels compris entre \(2\) inclus et \(8\) exclu. \[\boxed{[2;8[}.\]
- \(x<-1\) ou \(x\geq 4\)
Le mot \og ou \fg signifie qu’on accepte l’une ou l’autre des deux zones. On obtient une réunion d’intervalles : \[\boxed{]-\infty;-1[\cup [4;+\infty[}.\]
- \(-5\leq x\) et \(x\leq 1\)
Les deux contraintes donnent : \[x\geq -5
\quad\text{et}\quad
x\leq 1.\] Les deux bornes sont incluses. \[\boxed{[-5;1]}.\] - \(x>0\) ou \(x\leq -2\)
On accepte les réels strictement positifs ou les réels inférieurs ou égaux à \(-2\). \[\boxed{]-\infty;-2]\cup ]0;+\infty[}.\]
Correction de l'exercice 4
- \(2x-3\leq 5\)
On isole \(x\). \[2x-3\leq 5\] \[2x\leq 8\] \[x\leq 4.\] L’ensemble solution est : \[\boxed{]-\infty;4]}.\]
- \(-3x+1<10\)
On isole \(x\). \[-3x+1<10\] \[-3x-3.\] L’ensemble solution est : \[\boxed{]-3;+\infty[}.\]
- \(4\leq 2x+6<12\)
On travaille sur les trois membres de l’encadrement.
On soustrait \(6\) : \[4-6\leq 2x+6-6<12-6.\] Donc : \[-2\leq 2x<6.\]
On divise par \(2\), qui est positif, donc le sens des inégalités ne change pas : \[-1\leq x<3.\]
L’ensemble solution est : \[\boxed{[-1;3[}.\]
Correction de l'exercice 5
\qquad
B=]1;6].\]
1. Représentation graphique
2. Intersection
L’intersection \(A\cap B\) contient les réels appartenant à \(A\) et à \(B\).
Les deux ensembles se recouvrent entre \(1\) et \(4\). Le nombre \(1\) n’appartient pas à \(B\), donc il est exclu. Le nombre \(4\) n’appartient pas à \(A\), donc il est exclu.
Ainsi : \[\boxed{A\cap B=]1;4[}.\]
3. Réunion
La réunion \(A\cup B\) contient les réels appartenant à \(A\) ou à \(B\).
Les deux intervalles se touchent et se recouvrent partiellement. L’ensemble total va de \(-2\) inclus à \(6\) inclus.
Ainsi : \[\boxed{A\cup B=[-2;6]}.\]
Produit cartésien et couples
CAP-1G_MATH_SPE-MATH-001-002-004
Produit cartésien et couples
Pourquoi apprend-on cela ?
Cette notion est indispensable pour comprendre les points du plan, les ensembles de solutions d’équations à deux inconnues, les tableaux à double entrée et certaines représentations graphiques.
Objectif
\quad\longleftrightarrow\quad
\text{ensemble de couples}
\quad\longleftrightarrow\quad
\text{représentation graphique dans un repère}.\] À la fin de la capsule, il faut savoir :
- définir un couple ;
- définir le produit cartésien de deux ensembles ;
- lister les éléments d’un produit cartésien fini ;
- représenter graphiquement un produit cartésien simple ;
- calculer son cardinal lorsque les ensembles sont finis.
Prérequis utiles
- La notation d’appartenance : \(x\in A\) signifie que \(x\) appartient à l’ensemble \(A\).
- La notation de non-appartenance : \(x\notin A\).
- Le cardinal d’un ensemble fini : \(\mathrm{Card}(A)\) est le nombre d’éléments de \(A\).
- Les intervalles de \(\mathbb{R}\), par exemple \([1;3]\), \([0;2[\).
- Dans un repère, un point est repéré par un couple de coordonnées \((x;y)\).
Cours
1. Couple : l'ordre compte
Le premier élément est \(a\), le second est \(b\). L’ordre est essentiel : \[(a;b) \neq (b;a)\] en général.
Deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières coordonnées sont égales et leurs secondes coordonnées sont égales : \[(a;b)=(c;d)
\quad\Longleftrightarrow\quad
a=c \ \text{et}\ b=d.\]
Par exemple : \[(2;5)\neq(5;2),\] car le premier élément n’est pas le même.
2. Produit cartésien de deux ensembles
Le produit cartésien de \(A\) par \(B\), noté \(A\times B\), est l’ensemble de tous les couples \((a;b)\) tels que : \[a\in A
\quad\text{et}\quad
b\in B.\]
On écrit : \[A\times B=\{(a;b)\mid a\in A \ \text{et}\ b\in B\}.\]
Le premier élément du couple vient toujours de \(A\), le second vient toujours de \(B\).
3. Exemple visuel avec deux ensembles finis
\qquad\text{et}\qquad
B=\{-1;2\}.\]
Alors : \[A\times B=
\{(1;-1),(1;2),(2;-1),(2;2),(3;-1),(3;2)\}.\]
On peut relier trois représentations.
\[\begin{array}{c|cc}
& -1 & 2\\
\hline
1 & (1;-1) & (1;2)\\
2 & (2;-1) & (2;2)\\
3 & (3;-1) & (3;2)
\end{array}\]
Chaque point placé correspond à un couple de \(A\times B\). La première coordonnée est choisie dans \(A\), la seconde dans \(B\).
4. Produit cartésien et ordre des ensembles
Par exemple, si \(A=\{1;2\}\) et \(B=\{5\}\), alors : \[A\times B=\{(1;5),(2;5)\},\] tandis que : \[B\times A=\{(5;1),(5;2)\}.\]
Les deux ensembles n’ont pas les mêmes couples, car les coordonnées sont inversées.
5. Cardinal d'un produit cartésien fini
Cette propriété signifie que chaque élément de \(A\) peut être associé à chaque élément de \(B\).
Si \(A\) ou \(B\) est vide, alors : \[A\times B=\varnothing.\] Dans ce cas, il n’existe aucun couple possible.
6. Produit cartésien d'intervalles
Par exemple : \[[1;3]\times[0;2]
=
\{(x;y)\mid 1\leq x\leq 3 \ \text{et}\ 0\leq y\leq 2\}.\]
Graphiquement, la première condition limite les abscisses, et la seconde limite les ordonnées.
Méthode
Lister un produit cartésien fini
- Identifier les éléments de \(A\).
- Identifier les éléments de \(B\).
- Fixer un élément de \(A\).
- L’associer successivement à tous les éléments de \(B\).
- Recommencer avec chaque élément de \(A\).
- Vérifier que chaque couple est de la forme \((a;b)\), avec \(a\in A\) et \(b\in B\).
Si les ensembles sont finis, on peut contrôler le nombre de couples avec : \[\mathrm{Card}(A\times B)=\mathrm{Card}(A)\times\mathrm{Card}(B).\]
Représenter graphiquement un produit cartésien
- placer les éléments de \(A\) sur l’axe horizontal ;
- placer les éléments de \(B\) sur l’axe vertical ;
- placer tous les points de coordonnées \((a;b)\) avec \(a\in A\) et \(b\in B\).
Pour un produit d’intervalles \(I\times J\), on représente la zone des points \((x;y)\) tels que : \[x\in I
\quad\text{et}\quad
y\in J.\]
Exemple corrigé
Énoncé
\qquad\text{et}\qquad
B=\{a;b;c\}.\]
- Déterminer \(A\times B\).
- Calculer \(\mathrm{Card}(A\times B)\).
- Dire si \((2;b)\) et \((b;2)\) appartiennent à \(A\times B\).
Correction
Le premier élément du couple doit appartenir à \(A\). Il vaut donc \(0\) ou \(2\).
Le second élément du couple doit appartenir à \(B\). Il vaut donc \(a\), \(b\) ou \(c\).
Ainsi : \[A\times B=
\{(0;a),(0;b),(0;c),(2;a),(2;b),(2;c)\}.\]
2. Calculer le cardinal.
On a : \[\mathrm{Card}(A)=2
\qquad\text{et}\qquad
\mathrm{Card}(B)=3.\] Donc : \[\mathrm{Card}(A\times B)=2\times 3=6.\]
3. Tester l’appartenance.
Le couple \((2;b)\) appartient à \(A\times B\), car : \[2\in A
\quad\text{et}\quad
b\in B.\]
En revanche, \((b;2)\) n’appartient pas à \(A\times B\), car le premier élément devrait appartenir à \(A\), or : \[b\notin A.\]
Donc : \[(2;b)\in A\times B
\qquad\text{et}\qquad
(b;2)\notin A\times B.\]
Erreurs fréquentes
Erreur 1 : confondre \((a;b)\) et \((b;a)\)
Pourquoi c’est faux : dans un couple, l’ordre compte. Le premier élément et le second élément n’ont pas le même rôle.
À retenir : \[(a;b)=(c;d)
\quad\Longleftrightarrow\quad
a=c \ \text{et}\ b=d.\]
Erreur 2 : oublier des couples
Pourquoi c’est faux : chaque élément de \(A\) doit être associé à chaque élément de \(B\).
Astuce : utiliser un tableau à double entrée pour ne rien oublier.
Erreur 3 : inverser les ensembles
Pourquoi c’est faux : dans \(A\times B\), le premier élément vient de \(A\). Dans \(B\times A\), le premier élément vient de \(B\).
Point de vigilance : regarder toujours l’ordre écrit autour du symbole \(\times\).
Exercices d'application
Exercice 1
\qquad\text{et}\qquad
F=\{0;3\}.\]
- Déterminer \(E\times F\).
- Calculer \(\mathrm{Card}(E\times F)\).
- Dire si les couples suivants appartiennent à \(E\times F\) : \[(4;0),\qquad (0;4),\qquad (-1;3).\]
Exercice 2
\qquad\text{et}\qquad
Q=\{5\}.\]
- Déterminer \(P\times Q\).
- Déterminer \(Q\times P\).
- Comparer les deux ensembles obtenus.
Exercice 3
\qquad\text{et}\qquad
B=\{-1;2\}.\]
- Déterminer \(A\times B\).
- Représenter graphiquement les points correspondants dans un repère.
- Calculer \(\mathrm{Card}(A\times B)\).
Exercices d'approfondissement
Exercice 4
\qquad\text{et}\qquad
J=[1;3[.\]
- Écrire \(I\times J\) avec une condition sur \(x\) et \(y\).
- Représenter graphiquement \(I\times J\) dans un repère.
- Préciser si le point \((2;3)\) appartient à \(I\times J\).
Exercice 5
- Déterminer les couples de \(S\).
- Représenter graphiquement ces couples dans un repère.
- Expliquer pourquoi \(S\) est un sous-ensemble de \(C\times C\), mais n’est pas égal à \(C\times C\).
Synthèse
À retenir
- Un couple \((a;b)\) est ordonné : l’ordre des éléments compte.
- Le produit cartésien \(A\times B\) est l’ensemble des couples \((a;b)\) avec \(a\in A\) et \(b\in B\).
- En général, \(A\times B\neq B\times A\).
- Si \(A\) et \(B\) sont finis, alors : \[\mathrm{Card}(A\times B)=\mathrm{Card}(A)\times\mathrm{Card}(B).\]
- Dans un repère, un produit cartésien peut se représenter par des points ou par une zone du plan.
- \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) est noté \(\mathbb{R}^2\) : c’est l’ensemble des couples réels \((x;y)\), donc l’ensemble des coordonnées possibles des points du plan.
Corrections détaillées
Correction de l'exercice 1
\qquad\text{et}\qquad
F=\{0;3\}.\]
1. Déterminer \(E\times F\).
Le premier élément de chaque couple vient de \(E\), le second vient de \(F\).
Avec \(-1\), on obtient : \[(-1;0),\quad (-1;3).\]
Avec \(4\), on obtient : \[(4;0),\quad (4;3).\]
Donc : \[E\times F=\{(-1;0),(-1;3),(4;0),(4;3)\}.\]
2. Calculer le cardinal.
On a : \[\mathrm{Card}(E)=2
\qquad\text{et}\qquad
\mathrm{Card}(F)=2.\] Donc : \[\mathrm{Card}(E\times F)=2\times 2=4.\]
3. Tester l’appartenance.
\[(4;0)\in E\times F\] car \(4\in E\) et \(0\in F\).
\[(0;4)\notin E\times F\] car le premier élément devrait appartenir à \(E\), or \(0\notin E\).
\[(-1;3)\in E\times F\] car \(-1\in E\) et \(3\in F\).
Correction de l'exercice 2
\qquad\text{et}\qquad
Q=\{5\}.\]
1. Déterminer \(P\times Q\).
Le premier élément vient de \(P\), le second vient de \(Q\). Donc : \[P\times Q=\{(1;5),(2;5)\}.\]
2. Déterminer \(Q\times P\).
Cette fois, le premier élément vient de \(Q\), donc il vaut \(5\). Le second vient de \(P\), donc il vaut \(1\) ou \(2\). Ainsi : \[Q\times P=\{(5;1),(5;2)\}.\]
3. Comparer.
Les couples ne sont pas les mêmes : \[(1;5)\neq(5;1)
\qquad\text{et}\qquad
(2;5)\neq(5;2).\]
Donc : \[P\times Q\neq Q\times P.\]
Correction de l'exercice 3
\qquad\text{et}\qquad
B=\{-1;2\}.\]
1. Déterminer \(A\times B\).
Pour chaque élément de \(A\), on l’associe aux deux éléments de \(B\).
Avec \(-2\) : \[(-2;-1),\quad (-2;2).\]
Avec \(0\) : \[(0;-1),\quad (0;2).\]
Avec \(1\) : \[(1;-1),\quad (1;2).\]
Donc : \[A\times B=\{(-2;-1),(-2;2),(0;-1),(0;2),(1;-1),(1;2)\}.\]
2. Représentation graphique.
Chaque point représenté a une abscisse appartenant à \(A\) et une ordonnée appartenant à \(B\).
3. Cardinal.
On a : \[\mathrm{Card}(A)=3
\qquad\text{et}\qquad
\mathrm{Card}(B)=2.\] Donc : \[\mathrm{Card}(A\times B)=3\times 2=6.\]
Correction de l'exercice 4
\qquad\text{et}\qquad
J=[1;3[.\]
1. Écriture avec des conditions.
Dire que \((x;y)\in I\times J\) signifie : \[x\in I
\quad\text{et}\quad
y\in J.\]
Donc : \[I\times J=\{(x;y)\mid -1\leq x\leq 2 \ \text{et}\ 1\leq y<3\}.\]
2. Représentation graphique.
La zone grisée correspond aux points dont l’abscisse est comprise entre \(-1\) et \(2\), bornes incluses, et dont l’ordonnée est comprise entre \(1\) inclus et \(3\) exclu.
3. Appartenance de \((2;3)\).
On a bien : \[2\in[-1;2].\] Mais : \[3\notin[1;3[.\] Donc : \[(2;3)\notin I\times J.\]
Correction de l'exercice 5
1. Déterminer les couples de \(S\).
On cherche les couples \((x;y)\) avec \(x\in C\), \(y\in C\) et \(x+y=3\).
\[\begin{array}{c|c}
x & y=3-x\\
\hline
0 & 3\\
1 & 2\\
2 & 1\\
3 & 0
\end{array}\]
Tous les nombres obtenus appartiennent à \(C\). Donc : \[S=\{(0;3),(1;2),(2;1),(3;0)\}.\]
2. Représentation graphique.
Les quatre points sont alignés sur la droite d’équation \(x+y=3\), mais seuls les points dont les coordonnées appartiennent à \(C\) sont retenus.
3. Comparer \(S\) et \(C\times C\).
Par définition : \[S=\{(x;y)\in C\times C\mid x+y=3\}.\] Donc tous les éléments de \(S\) appartiennent à \(C\times C\). On a : \[S\subset C\times C.\]
Mais \(S\) n’est pas égal à \(C\times C\), car \(C\times C\) contient tous les couples formés avec deux éléments de \(C\), pas seulement ceux dont la somme vaut \(3\).
Par exemple : \[(0;0)\in C\times C\] mais : \[0+0\neq 3,\] donc : \[(0;0)\notin S.\]
Ainsi : \[S\subset C\times C
\qquad\text{et}\qquad
S\neq C\times C.\]